Тригонометрический ряд определение основные свойства. Суммирование тригонометрических рядов с помощью аналитических функций. Сходимость ряда Фурье в точке
Напомним, что в действительном анализе тригонометрический ряд - это ряд по косинусам и синусам кратных дуг, т.е. ряд вида
Немного истории. Начальный период теории таких рядов относят к середине 18-го века в связи с задачей о колебании струны, когда искомая функция искалась в виде суммы ряда (14.1). Вопрос о возможности такого представления вызвал у математиков острые споры, продолжавшиеся несколько десятилетий. Споры относились к содержанию понятия функции. В то время функции обычно связывались с их аналитическим заданием, а здесь появилась необходимость представить рядом (14.1) функцию, графиком которой является достаточно произвольная кривая. Но значение этих споров больше. Фактически в них возникли вопросы, связанные со многими принципиально важными идеями математического анализа.
И в дальнейшем, как и в этот начальный период, теория тригонометрических рядов служила источником новых идей. Именно в связи с ними, например, возникли теория множеств и теория функций действительного переменного.
В этой заключительной главе рассмотрим материал, в очередной раз связывающий действительный и комплексный анализ, но мало отраженный в учебных пособиях по ТФКП. В курсе анализа исходили из наперед заданной функции и разлагали ее в тригонометрический ряд Фурье. Здесь рассматривается обратная задача: по заданному тригонометрическому ряду установить его сходимость и сумму. Для этого Эйлер и Лагранж с успехом применяли аналитические функции. По-видимому, Эйлер впервые (1744) получил равенства
Ниже мы пройдемся по следам Эйлера, ограничиваясь только частными случаями рядов (14.1), а именно, тригонометрическими рядами
Замечание. Будет существенно использоваться следующий факт: если последовательность положительных коэффициентов а п монотонно стремится к нулю, то указанные ряды сходятся равномерно на любом замкнутом промежутке, нс содержащем точек вида 2лк (к gZ). В частности, на интервале (0,2л -) будет поточечная сходимость. Смотрите об этом в работе , стр. 429-430.
Идея Эйлера суммирования рядов (14.4), (14.5) состоит в том, что с помощью подстановки z = е а переходят к степенному ряду
Если внутри единичного круга его сумму удается найти в явном виде, то выделением из нее действительной и мнимой частей задача обычно и решается. Подчеркнем, что, применяя метод Эйлера, следует проверять сходимость рядов (14.4), (14.5).
Рассмотрим некоторые примеры. Во многих случаях окажется полезным геометрический ряд
а также ряды, получающиеся из него почленным дифференцированием или интегрированием. Например,
Пример 14.1. Найти сумму ряда
Решение. Введем аналогичный ряд с косинусами
Оба ряда сходятся всюду, т.к. мажорируются геометрическим рядом 1 + г + г 2 +.... Полагая z = е" х , получим
Здесь дробь приводится к виду
откуда получаем ответ на вопрос задачи:
Попутно мы установили равенство (14.2): Пример 14.2. Просуммировать ряды
Решение. Согласно вышеприведенному замечанию оба ряда на указанном интервале сходятся и служат рядами Фурье для определяемых ими функций f(x) 9 g(x). Что это за функции? Для ответа на вопрос в соответствии с методом Эйлера составим ряд (14.6) с коэффициентами а п = -. Соглас-
но равенству (14.7) получим
Опуская подробности (читателю их следует воспроизвести), укажем, что выражение под знаком логарифма можно представить в виде
Модуль этого выражения равен -, а аргумент (точнее, главное его зна-
- 2sin -
чение)равен Поэтому In ^ = -ln(2sin Следовательно,
Пример 14.3. При -л просуммировать ряды
Решение. Оба ряда сходятся везде, так как мажорируются сходящимся
рядом с общим членом -! . Ряд (14.6)
п{п + 1)
непосредственно
J__\_ __1_
/?(/? +1) п /1 + 1
нс даст известной суммы. На основе представим его в виде
равенства
Здесь выражение в круглых скобках равно ln(l + z), а выражение в квадратных скобках - это ^ ^ + ** ^--. Следовательно,
= (1 + -)ln(1 + z). Теперь надо подставить сюда z = e LX
и выполнить действия, аналогичные проведенным в предыдущем примере. Опуская детали, укажем, что Осталось раскрыть скобки и записать ответ. Предоставляем выполнить это читателю. Задачи к главе 14 Вычислить суммы следующих рядов. 3.1.а).Если w=u + iv,
то и
= -г- -v = -^-^.Отсюда л: 2 +(1-.г) 2 .т 2 +(1-д:) 2 Из этой окружности следует исключить начало координат, так как (м, v) 9* (0;0) V* е R,
ton и
= lim v = 0. x-yx>
.v->oo а = 1,а = 2.
z „ =-! + -> z,=-l - них w
= 2х
; голоморфной нигде не является; St St
зависят от переменной „т. Из условий Коши-Римана вытекает независимость этих функций и от у. 4.5. Рассмотрим, например, случай Re f(z)
= и(х,у)
= const
. С помощью условий Коши-Римана вывести отсюда, что Im/(z) = v(x 9 y)
= const
. аргумент производной равен нулю, то ее мнимая часть нулевая, а действительная часть положительная. Отсюда вывести ответ: прямая у
= -х
-1 (х *
0). б) окружность z + i=j2.
выражение в круглых скобкых приняло одно и то же значение, то имели бы что противоречит иррациональности а
. у
= 0, -1 х 1 имеем и =
--е [-1,1]» v = 0. Рассмотрим второй участок границы - полуокружность z =
e u
,t g
. На этом участке выражение
преобразуется к виду w=u =
-- ,/* -. На промежутке . Согласно (8.6) искомый интеграл равен
б). Уравнение нижней полуокружности имеет вид z(t) = e“,t е[л, 2я).
По формуле (8.8) интеграл равен z = t + i,te
. Ответ: - + -i.
.1 .t+2/r
е 2 ,е
2 .Из условия задачи следует, что речь идет о главном значении корня: Vz, т.е. о первом из указанных. Тогда интеграл равен 8.3. В решении задачи чертеж умышленно не приводится, но читателю его следует выполнить. Используется уравнение прямолинейного отрезка, соединяющего две заданные точки я, /> е С (а -
начало, Ь -
конец): z = (l - /)fl+ /?,/€ . Разобьем искомый интеграл на четыре: I = I AB + I BC + I CD
+1
DA . На отрезке АВ
имеем z -
(1 -1)
? 1 +1
/, поэтому интеграл но этому отрезку, согласно (8.8), равен Поступая аналогичным образом, найдем области D, содержащей Г и нс содержащей а
. По интегральной теореме, примененной к /),/], искомый интеграл равен нулю. геометрическим рядом 1 + q + q 2
(|| представить в виде /(z) = /(-^z). Не умаляя общности, можно считать, что радиус сходимости ряда Тейлора функции с центром в точке 0 более единицы. Имеем: Значения функции одинаковы на дискретном множестве с предельной точкой, принадлежащей кругу сходимости. По теореме единственности /(z) = const
. 11.3. Предположим, что искомая аналитическая функция /(z) существует. Сравним ее значения с функцией {z) = z 2
на множестве Е,
состоящем из точек z n
= - (п =
2,3,...). Их значения одинаковы, а так как Е
имеет предельную точку, принадлежащую данному кругу, то по теореме единственности /(z) = z 2 для всех аргументов данного круга. Но это противоречит условию /(1) = 0. Ответ: нс существует. 12.2. а). Представьте функцию в виде
и раскройте скобки. простых полюса 1,-1,/. Сумма вычетов в них равна --, а интеграл равен в). Среди полюсов 2Trki(kGZ)
подынтегральной функции лишь два лежат внутри данной окружности. Это 0 и 2я
оба они простые, вычеты в них равны по 1. Ответ: 4я7. умножить его на 2/г/. Опуская детали, укажем ответ: / = -i . 13.2. а). Положим e"=z, тогда e"idt =
dz
, dt
= - .
Ho e“ - e~“ z-z~ x
sin / =-=-, интефал сведется к виду Здесь знаменатель разлагается на множители (z-z,)(z-z 2), где z, = 3 - 2 V2 / лежит внутри окружности у
, a z,=3 + 2V2 / лежит вис се. Осталось найти вычет относительно простого полюса z, по формуле (13.2) и б) . Полагая, как и выше, е" = z
, сведем интефал к виду Подынтефальная функция имеет три простых полюса (каких?). Предоставляя читателю вычисления вычетов в них, укажем ответ: I =
. равен 2(^-1-ч-dt).
Стоящий в скобках интеграл обозначим через /. Применением равенства cos"/ = - (1 + cos2f) получим, что / = [-cit
. По аналогии со случаями а), б) сделать подстановку e 2,t
= z, свести интеграл к виду где кривая интегрирования - та же единичная окружность. Далее рассуждения те же, что и в случае а). Ответ: исходный, искомый интеграл равен /г(2-л/2). 13.3. а). Рассмотрим вспомогательный комплексный интеграл /(/?)= ff(z)dz,
где f(z) = -
р-, Г(Я) - контур, составленный из полуокружности y(R
): | z
|= R
> 1, Imz > 0 и се диаметра (сделайте чертеж). Разобьем этот интеграл на два - по о трезку [-/?,/?] и по y(R
). к. Ъя.
Внутри контура лежат лишь простые полюсы z 0 = е 4
, z, = е
4 (рис. 186). Найдем относительно их вычеты: Остается проверить, что интеграл по y(R)
стремится к нулю с ростом R
. Из неравенства |д + Л|>||я|-|/>|| и из оценки интеграла при z е y(R)
вытекает, что
В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т.е. такими, которые воспроизводятся через определённый промежуток времени T , называемый периодом. Простейшей из периодических функций (если не считать постоянной) является синусоидальная величина: Asin (x + ), гармоническое колебание, где есть «частота», связанная с периодом соотношением: . Из таких простейших периодических функций могут быть составлены более сложные. Очевидно, что составляющие синусоидальные величины должны быть разных частот, так как сложение синусоидальных величин одной и той же частоты приводит к синусоидальной величине той же частоты. Если сложить несколько величин вида
Для примера мы воспроизводим здесь сложение трех синусоидальных величин: . Рассмотрим график этой функции
Этот график значительно отличается от синусоиды. Еще в большей степени это имеет место для суммы бесконечного ряда, составленного из слагаемых этого вида. Поставим вопрос: можно ли данную периодическую функцию периода Т представить в виде суммы конечного или хотя бы бесконечного множества синусоидальных величин? Оказывается, по отношению к большому классу функций на этот вопрос можно дать утвердительный ответ, но это только если привлечь именно всю бесконечную последовательность таких слагаемых. Геометрически это означает, что график периодической функции получается путем наложения ряда синусоид. Если же рассматривать каждую синусоидальную величину как некоторое гармоническое колебательное движение, то можно сказать, что это сложное колебание, характеризуемое функцией или просто ее гармониками (первой, второй и т. д.). Процесс разложения периодической функции на гармоники носит название гармонического анализа.
Важно отметить, что подобные разложения часто оказываются полезными и при исследовании функций, заданных лишь в определенном конечном промежутке и вовсе не порожденных никакими колебательными явлениями.
Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
Или 
(1).
Действительные числа называются коэффициентами тригонометрического ряда. Этот ряд можно записать и так:
Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма является периодической функцией с периодом 2p.
Определение.
Коэффициентами Фурье тригонометрического ряда называются: 
(2)
(3)
(4)
Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье.
Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.
Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция имеет период 2p и на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция монотонна, то ряд Фурье для функции сходится при всех значениях х , причем в точках непрерывности функции его сумма S(x) равна , а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа.
При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции .
Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке .
Рассмотрим примеры на разложение функции в ряд Фурье.
Пример 1 . Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=1-x , имеющую период 2p и заданную на отрезке .
Решение . Построим график этой функции
Эта функция непрерывна на отрезке , то есть на отрезке длиной в период, поэтому допускает разложение в ряд Фурье, сходящейся к ней в каждой точке этого отрезка. По формуле (2) найдем коэффициент этого ряда: .
Применим формулу интегрирования по частям и найдем и по формулам (3) и (4) соответственно:
Подставляя коэффициенты в формулу (1), получаем 
или .
Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек и (точки склейки графиков). В каждой из этих точек сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений справа и слева, то есть .
Приведем алгоритм разложения функции в ряд Фурье.
Общий порядок решения поставленной задачи сводится к следующему.
В ряде случаев, исследуя коэффициенты рядов вида (С) или можно установить, что эти ряды сходятся (исключая, быть может, отдельные точки) и являются рядами Фурье для своих сумм (см., например, предыдущий п°), но во всех этих случаях естественно возникает вопрос,
как найти суммы этих рядов или - точнее - как выразить их в конечном виде через элементарные функции, если они, вообще, в таком виде выражаются. Еще Эйлер (а также Лагранж) с успехом применял для суммирования тригонометрических рядов в конечном виде аналитические функции комплексной переменной. Идея метода Эйлера состоит в следующем.
Допустим, что при некотором наборе коэффициентов ряды (С) и сходятся к функциям повсюду в промежутке исключая разве лишь отдельные точки. Рассмотрим теперь степенной ряд с теми же коэффициентами, расположенный по степеням комплексной переменной
На окружности единичного круга т. е. при этот ряд по предположению сходится, исключая отдельные точки:
В таком случае, по известному свойству степенных рядов ряд (5) заведомо сходится при т. е. внутри единичного круга, определяя там некоторую функцию комплексной переменной. Используя известные нам [см. § 5 главы XII] разложения элементарных функций комплексной переменной, часто удается свести к ним и функцию Тогда для имеем:
и по теореме Абеля , лишь только ряд (6) сходится, его сумма получается как предел
Обычно этот предел равен попросту что и позволяет вычислить в конечном виде функции
Пусть, например, предложены ряды
Доказанные в предыдущем п° утверждения приводят к заключению, что оба эти ряда сходятся (первый - исключая точки 0 и
служат рядами Фурье для определяемых ими функций Но что это за функции? Для ответа на этот вопрос составим ряд
По сходству с логарифмическим рядом легко устанавливается его сумма:
следовательно,
Теперь легкое вычисление дает:
так что модуль этого выражения есть , а аргумент .
и, таким образом, окончательно
Результаты эти нам знакомы и даже были однажды получены с помощью «комплексных» соображений ; но в первом случае мы исходили из функций и , а во втором - из аналитической функции Здесь же впервые нам отправной точкой послужили сами ряды. Дальнейшие примеры подобного рода читатель найдет в следующем п°.
Подчеркнем еще раз, что нужно наперед быть уверенным в сходи и рядов (С) и чтобы иметь право определить их суммы с помощью предельного равенства (7). Одно существование предела в правой части этого равенства еще не позволяет сделать заключение о сходимости упомянутых рядов. Чтобы показать это на примере, рассмотрим ряды
Условие Гёльдера. Будем говорить, что функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условия Гёльдера, если существуют односторонние конечные пределы $f(x_0 \pm 0)$ и такие числа $\delta > 0$, $\alpha \in (0,1]$ и $c_0 > 0$, что для всех $t \in (0,\delta)$ выполнены неравенства: $|f(x_0+t)-f(x_0+0)|\leq c_0t^{\alpha }$, $|f(x_0-t)-f(x_0-0)|\leq c_0t^{\alpha }$.
Формула Дирихле.
Преобразованной формулой Дирихле называют формулу вида:
$$S_n(x_0)= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)+f(x_0-t))D_n(t)dt \quad (1),$$ где $D_n(t)=\frac{1}{2}+ \cos t + \ldots+ \cos nt = \frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}} (2)$ — .
Используя формулы $(1)$ и $(2)$, запишем частичную сумму ряда Фурье в следующем виде:
$$S_n(x_0)= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2\sin\frac{t}{2}}\sin \left (n+\frac{1}{2} \right) t dt$$
$$\Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty }S_n(x_0) — \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2\sin\frac{t}{2}} \cdot \\ \cdot \sin \left (n+\frac{1}{2} \right)t dt = 0 \quad (3)$$
Для $f \equiv \frac{1}{2}$ формула $(3)$ принимает следующий вид: $$ \lim\limits_{n \to \infty }\frac{1}{\delta}\frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}}dt=\frac{1}{2}, 0
Сходимость ряда Фурье в точке
Теорема. Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция и в точке $x_0$ удовлетворяет условию Гёльдера. Тогда ряд Фурье функции $f(x)$ в точке $x_0$ сходится к числу $$\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$$
Если в точке $x_0$ функция $f(x)$ — непрерывна, то в этой точке сумма ряда равна $f(x_0)$.
Доказательство
Так как функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условию Гёльдера, то при $\alpha > 0$ и $0 < t$ $ < \delta$ выполнены неравенства (1), (2).
Запишем при заданном $\delta > 0$ равенства $(3)$ и $(4)$. Умножая равенство $(4)$ на $f(x_0+0)+f(x_0-0)$ и вычитая результат из равенства $(3)$, получаем $$ \lim\limits_{n \to \infty} (S_n(x_0) — \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2} — \\ — \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\delta}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2\sin \frac{t}{2}} \cdot \\ \cdot \sin \left (n + \frac{1}{2} \right)t \, dt) = 0. \quad (5)$$
Из условия Гёльдера следует, что функция $$\Phi(t)= \frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2\sin \frac{t}{2}}.$$ абсолютно интегрируема на отрезке $$. В самом деле, применяя неравенство Гёльдера, получаем, что для функции $\Phi(t)$ справедливо следующее неравенство: $|\Phi(t)| \leq \frac{2c_0t^{\alpha }}{\frac{2}{\pi}t} = \pi c_0t^{\alpha — 1} (6)$, где $\alpha \in (0,1]$.
В силу признака сравнения для несобственных интегралов из неравенства $(6)$ следует, что $\Phi(t)$ абсолютно интергрируема на $.$
В силу леммы Римана $$\lim\limits_{n \to \infty}\int\limits_{0}^{\delta}\Phi(t)\sin \left (n + \frac{1}{2} \right)t\cdot dt = 0 .$$
Из формулы $(5)$ теперь следует, что $$\lim\limits_{n \to \infty}S_n(x_0) = \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2} .$$
[свернуть]
Следствие 1. Если $2\pi$-периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную, то ее ряд Фурье сходится в этой точке к $f(x_0)$.
Следствие 2. Если $2\pi$-периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ обе односторонние производные, то ее ряд Фурье сходится в этой точке к $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$
Следствие 3. Если $2\pi$-периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ удовлетворяет в точках $-\pi$ и $\pi$ условию Гёльдера, то в силу периодичности сумма ряда Фурье в точках $-\pi$ и $\pi$ равна $$\frac{f(\pi-0)+ f(-\pi+0)}{2}.$$
Признак Дини
Определение. Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая функция, Точка $x_0$ будет регулярной точкой функции $f(x)$, если
- 1) существуют конечные левый и правый пределы $\lim\limits_{x \to x_0+0 }f(x)= \lim\limits_{x \to x_0-0 }f(x)= f(x_0+0)=f(x_0-0),$
- 2) $f(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$
Теорема. Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция и точка $x_0 \in \mathbb{R}$ — регулярная точка функции $f(x)$. Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условиям Дини: существуют несобственные интегралы $$\int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t}dt, \\ \int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0-t)-f(x_0-0)|}{t}dt,$$
тогда ряд Фурье функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет сумму $f(x_0)$, т.е. $$ \lim\limits_{n \to \infty }S_n(x_0)=f(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$$
Доказательство
Для частичной суммы $S_n(x)$ ряда Фурье имеет место интегральное представление $(1)$. И в силу равенства $\frac{2}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }D_n(t) \, dt=1,$
$$ f(x_0)= \frac{1}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }f(x_0+0)+f(x_0-0)D_n(t) \, dt$$
Тогда имеем $$S_n(x_0)-f(x_0) = \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t) \, dt + $$ $$+\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0-t)-f(x_0-0))D_n(t) \, dt. \quad(7)$$
Очевидно, что теорема будет доказана, если докажем, что оба интеграла в формуле $(7)$ имеют пределы при $n \to \infty $ равные $0$. Рассмотрим первый интеграл: $$I_n(x_0)=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt. $$
В точке $x_0$ выполняется условие Дини: сходится несобственный интеграл $$\int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t} \, dt .$$
Поэтому для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta \in (0, h)$ такое, что $$\int\limits_{0}^{\delta }\frac{\left | f(x_0+t)-f(x_0+0) \right |}{t}dt
По выбранному $\varepsilon > 0$ и $\delta > 0$ интеграл $I_n(x_0)$ представим в виде $I_n(x_0)=A_n(x_0)+B_n(x_0)$, где
$$A_n(x_0)=\int\limits_{0}^{\delta }(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt ,$$ $$B_n(x_0)=\int\limits_{\delta}^{\pi }(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt .$$
Рассмотрим сначала $A_n(x_0)$. Используя оценку $\left | D_n(t) \right |
для всех $t \in (0, \delta)$.
Поэтому $$A_n(x_0) \leq \frac{\pi}{2} \int\limits_{0}^{\delta } \frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t}dt
Перейдем к оценке интеграла $B_n(x_0)$ при $n \to \infty $. Для этого введем функцию $$ \Phi (t)=\left\{\begin{matrix}
\frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{2\sin \frac{t}{2}}, 0
$$B_n(x_0)=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\Phi (t) \sin \left (n+\frac{1}{2} \right)t\,dt.$$ Получаем, что $\lim\limits_{n \to \infty }B_n(x_0)=0$, а это означает, что для выбранного ранее произвольного $\varepsilon > 0$ существует такое $N$, что для всех $n>N$ выполняется неравенство $|I_n(x_0)|\leq |A_n(x_0)| + |B_n(x_0)|
Совершенно аналогично доказывается, что и второй интеграл формулы $(7)$ имеет равный нулю предел при $n \to \infty $.
[свернуть]
Следствие Если $2\pi$ периодическая функция $f(x)$ кусочно дифференциируема на $[-\pi,\pi]$, то ее ряд Фурье в любой точке $x \in [-\pi,\pi]$ сходится к числу $$\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$$
На отрезке $[-\pi,\pi]$ найти тригонометрический ряд Фурье функции $f(x)=\left\{\begin{matrix}
1, x \in (0,\pi),\\ -1, x \in (-\pi,0),
\\ 0, x=0.
\end{matrix}\right.$
Исследовать сходимость полученного ряда.
Продолжая периодически $f(x)$ на всю вещественную ось, получим функцию $\widetilde{f}(x)$, график которой изображен на рисунке.
Так как функция $f(x)$ нечетна, то $$a_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx dx =0;$$
$$b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx \, dx = $$ $$=\frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}f(x)\sin kx \, dx =$$ $$=-\frac{2}{\pi k}(1- \cos k\pi)$$
$$b_{2n}=0, b_{2n+1} = \frac{4}{\pi(2n+1)}.$$
Следовательно, $\tilde{f}(x)\sim \frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1}.$
Так как ${f}"(x)$ существует при $x\neq k \pi$, то $\tilde{f}(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1}$, $x\neq k \pi$, $k \in \mathbb{Z}.$
В точках $x=k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$, функция $\widetilde{f}(x)$ не определена, а сумма ряда Фурье равна нулю.
Полагая $x=\frac{\pi}{2}$, получаем равенство $1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{5}- \ldots + \frac{(-1)^n}{2n+1}+ \ldots = \frac{\pi}{4}$.
[свернуть]
Найти ряд Фурье следующей $2\pi$-периодической и абсолютно интегрируемой на $[-\pi,\pi]$ функции:
$f(x)=-\ln |
\sin \frac{x}{2}|$, $x \neq 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$, и исследовать на сходимость полученного ряда.
Так как ${f}"(x)$ существует при $ x \neq 2k \pi$, то ряд Фурье функции $f(x)$ будет сходиться во всех точках $ x \neq 2k \pi$ к значению функции. Очевидно, что $f(x)$ четная функция и поэтому ее разложение в ряд Фурье должно содержать косинусы. Найдем коэффициент $a_0$. Имеем $$\pi a_0 = -2 \int\limits_{0}^{\pi}\ln \sin \frac{x}{2}dx = $$ $$= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin \frac{x}{2}dx \,- \, 2\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\ln \sin \frac{x}{2}dx =$$ $$= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin \frac{x}{2}dx \, — \, 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\cos \frac{x}{2}dx=$$ $$= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (\frac{1}{2}\sin x)dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, 2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin x dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, \int\limits_{0}^{\pi}\ln \sin \frac{t}{2}dt = \pi\ln 2 + \frac{\pi a_0}{2},$$ откуда $a_0= \pi \ln 2$.
Найдем теперь $a_n$ при $n \neq 0$. Имеем $$\pi a_n = -2 \int\limits_{0}^{\pi}\cos nx \ln \sin \frac{x}{2}dx = $$ $$ = \int\limits_{0}^{\pi} \frac{\sin(n+\frac{1}{2})x+\sin (n-\frac{1}{2})x}{2n \sin\frac{x}{2}}dx=$$ $$= \frac{1}{2n} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \begin{bmatrix}
D_n(x)+D_{n-1}(x)\\ \end{bmatrix}dx.$$
Здесь $D_n(x)$- ядро Дирихле, определяемое формулой (2) и получаем, что $\pi a_n = \frac{\pi}{n}$ и, следовательно, $a_n = \frac{1}{n}$. Таким образом, $$-\ln |
\sin \frac{x}{2}| = \ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty } \frac{\cos nx}{n}, x \neq 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.$$
[свернуть]
Литература
- Лысенко З.М., конспект лекций по математическому анализу, 2015-2016 гг.
- Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 581-587
- Демидович Б.П., Сборник заданий и упражнений по математическому анализу, издание 13, исправленное, Издательство ЧеРо, 1997, стр. 259-267
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Информация
Тест по материалу данной темы:
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0 )
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
- С ответом
- С отметкой о просмотре
Задание 1 из 5
1 .
Количество баллов: 1Если $2\pi$ -периодическая и абсолютно интегрируема на $[−\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную, то к чему будет сходиится ее ряд Фурье в этой точке?
Задание 2 из 5
2 .
Количество баллов: 1Если выполнены все условия признака Дини, то к какому числу сходится ряд Фурье функции $f$ в точке $x_0$?
Решение Навье пригодно только для расчета пластинок, шарнирно опертых по контуру. Более общим является решение Леви . Оно позволяет выполнить расчет пластинки, шарнирно опертой по двум параллельным сторонам, с произвольными граничными условиями на каждой из двух других сторон.
В прямоугольной пластинке, изображенной на рис. 5.11, (a), шарнирно опертыми являются края, параллельные оси y . Граничные условия на этих краях имеют вид
 |
Рис. 5.11
Очевидно, что каждый член бесконечного тригонометрического ряда
https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">; вторые частные производные функции прогибов
(5.45)
при x = 0 и x = a также равны нулю, поскольку содержат https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46)
Подстановка (5.46) в (5.18) дает
Умножая обе части полученного уравнения на , интегрируя в пределах от 0 до a и помня, что
,
получаем для определения функции Ym такое линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
. (5.48)
Если для сокращения записи обозначить
уравнение (5.48) примет вид
. (5.50)
Общее решение неоднородного уравнения (5.50), как известно из курса дифференциальных уравнений, имеет вид
Ym (y ) = j m (y ) + Fm (y ), (5.51)
где j m (y ) – частное решение неоднородного уравнения (5.50); его вид зависит от правой части уравнения (5.50), т. е., фактически, от вида нагрузки q (x , y );
Fm (y ) = Am sh a m y + Bm ch a m y + y (Cm sh a m y + Dm ch a m y ), (5.52)
общее решение однородного уравнения
Четыре произвольные постоянные Am , В m , C m и Dm должны быть определены из четырех условий закрепления краев пластинки, параллельных оси , приложенная к пластинке постоянна q (x , y ) = q правая часть уравнения (5.50) приобретает вид
https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width="324" height="55 src=">. (5.55)
Поскольку правая часть уравнения (5.55) постоянна, то постоянна и левая его часть; поэтому все производные j m (y ) равны нулю, и
, (5.56)
, (5.57)
где обозначено: .
Рассмотрим пластинку, защемленную вдоль краев, параллельных оси х (рис. 5.11, (в)).
Граничные условия по краям y = ± b /2
. (5.59)
Вследствие симметрии прогиба пластинки относительно оси О x , в общем решении (5.52) следует сохранить лишь члены, содержащие четные функции. Поскольку sha m y – функция нечетная, а сha m y – четная и, при принятом положении оси Ох , y sha m y – четно, в у cha m y – нечетно, то общий интеграл (5.51) в рассматриваемом случае можно представить так
. (5.60)
Поскольку в (5.44) не зависит от значения аргумента y , вторую пару граничных условий (5.58), (5.59) можно записать в виде:
Ym = 0, (5.61)
Y ¢ m = = 0. (5.62)
a m Bm sha m y + Cm (sha m y + y a m cha m y )
Из (5.60) – (5.63) следует
https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width="364" height="55 src=">. (5.65)
Домножив уравнение (5.64) на , а уравнение (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66)
Подстановка (5.66) в уравнение (5.64) позволяет получить Bm
https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">. (5.68)
При таком выражении функции Y m . , формула (5.44) для определения функции прогибов приобретает вид
(5.69)
Ряд (5.69) быстро сходится. Например, для квадратной пластинки в её центре, т. е. при x = a /2, y = 0
(5.70)
Удержав в (5.70) только один член ряда, т. е. приняв 
, получим величину прогиба, завышенную менее чем на 2,47%. Учтя, что p
5 =
306,02, найдем Вариация" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">вариационный метод В..Ритца – базируется на сформулированном в п. 2 вариационном принципе Лагран-жа.
Рассмотрим этот метод применительно к задаче изгиба пластинок. Представим изогнутую поверхность пластинки в виде ряда
, (5.71)
где fi (x , y ) непрерывные координатные функции, каждая из которых должна удовлетворять кинематическим граничным условиям; Ci – неизвестные параметры, определяемые из уравнения Лагранжа. Это уравнение
(5.72)
приводит к системе из n алгебраических уравнений относительно параметров Ci .
В общем случае энергия деформации пластинки состоит из изгибной U и мембранной Um частей
, (5.73)
, (5.74)
где Мх. , М y . , М xy – изгибные усилия; N х. , Ny . , Nxy – мембранные усилия. Соответствующая поперечным силам часть энергии невелика и ею можно пренебречь.
Если u , v и w – составляющие действительного перемещения, px . , py и pz – составляющие интенсивности поверхностной нагрузки, Р i – сосредоточенная сила, Di соответствующее ей линейное перемещение, М j – сосредоточенный момент, q j – соответствующий ему угол поворота (рис. 5.12) то потенциальную энергию внешних сил можно представить так:
Если края пластинки допускают перемещения, то краевые силы vn . , mn . , mnt (рис. 5.12, (а)) увеличивают потенциал внешних сил
 |
|
 |
|
Рис. 5.12
Здесь n и t – нормаль и касательная к элементу края ds .
В декартовых координатах, с учетом известных выражений для усилий и кривизн
, (5.78)
полная потенциальная энергия Э прямоугольной пластинки размером a ´ b , при действии только вертикальной нагрузки pz
(5.79)
В качестве примера рассмотрим прямоугольную пластинку с отношением сторон 2a ´ 2b (рис. 5.13).
Пластинка защемлена по контуру и нагружена равномерной нагрузкой
pz = q = const . В этом случае выражение (5.79) для энергии Э упрощается
. (5.80)
Примем для w (x, y ) ряд
который удовлетворяет контурным условиям
 |  |
Рис. 5.13
Удержим только первый член ряда
.
Тогда согласно (5.80)
.
Минимизируя энергию Э согласно (5..gif" width="273 height=57" height="57">.
.
Прогиб центра квадратной пластинки размером 2а ´ 2а
,
что на 2,5% больше точного решения 0,0202 qa 4/D . Отметим, что прогиб центра пластинки, опертой по четырем сторонам, в 3,22 раза больше.
Этот пример иллюстрирует достоинства метода: простоту и возможность получения хорошего результата. Пластинка может иметь различные очертания, переменную толщину. Затруднения в этом методе, как, впрочем, и в других энергетических методах, возникают при выборе подходящих координатных функций.
5.8. Метод ортогонализации
Метод ортогонализации, предложенный и, основан на следующем свойстве ортогональных функций j i . , j j
. (5.82)
Примером ортогональных функций на интервале (– p , p ) могут служить тригонометрические функции cos nx и sin nx для которых
Если одна из функций, например функция j i (x ) тождественно равна нулю, то условие (5.82) выполняется для произвольной функции j j (x ).
Для решения задачи об изгибе пластинки уравнение –
можно представить так
, (5.83)
где F – площадь, ограниченная контуром пластинки; j ij – функции, задаваемые так, чтобы они удовлетворяли кинематическим и силовым граничным условиям задачи.
Представим приближенное решение уравнения изгиба пластинки (5.18) в виде ряда
. (5.84)
Если бы решение (5.84) было точным, то уравнение (5.83) выполнялось бы тождественно для любой системы координатных функций j ij . , поскольку в этом случае D Ñ2Ñ2 wn – q = 0. Потребуем, чтобы уравнение D Ñ2Ñ2 wn – q было ортогональным к семейству функций j ij , и требование это используем для определения коэффициентов Cij . . Подставляя (5.84) в (5.83) получим
. (5.85)
После выполнения некоторых преобразований получим следующую систему алгебраических уравнений для определения C ij
, (5.86)
причем h ij = h ji .
Методу Бубнова-Галеркина можно дать следующее толкование. Функция D Ñ2Ñ2 wn – q = 0 является по сути дела уравнением равновесия и представляет собой проекцию внешних и внутренних сил, действующих на малый элемент пластинки в направлении вертикальной оси z . Функция прогибов wn есть перемещение в направлении той же оси, а функции j ij можно считать возможными перемещениями. Следовательно, уравнение (5.83) приближенно выражает равенство нулю работы всех внешних и внутренних сил на возможных перемещениях j ij . . Таким образом метод Бубнова-Галеркина по сути своей является вариационным.
В качестве примера рассмотрим прямоугольную пластинку, защемленную по контуру и нагруженную равномерно распределенной нагрузкой. Размеры пластинки и расположение координатных осей такие же, как на рис. 5.6.
Граничные условия
при x = 0, x = а : w = 0, ,
при y = 0, y = b : w = 0, .
Приближенное выражение для функции прогибов выберем в виде ряда (5.84) где функция j ij
удовлетворяет граничным условиям; Cij – искомые коэффициенты. Ограничившись одним членом ряда
получим следующее уравнение
После интегрирования
Откуда вычислим коэффициент С 11
,
который полностью соответствует коэффициенту С 11., полученному методом
В. Ритца – .
В первом приближении функция прогибов такова
.
Максимальный прогиб в центре квадратной пластинки размером а ´ а
.
5.9. Применение метода конечных разностей
Рассмотрим применение метода конечных разностей для прямоугольных пластинок со сложными контурными условиями. Разностный оператор – аналог дифференциального уравнения изогнутой поверхности пластинки (5.18), для квадратной сетки, при Dx = Dy = D принимает вид (3.54)
20 wi , j + 8 (wi , j + 1 + wi , j – 1 + wi – 1, j + wi + 1, j ) + 2 (wi – 1, j – 1 + wi – 1, j + 1 +
Рис. 5.14
С учетом наличия трех осей симметрии нагружения и деформаций пластинки, можно ограничиться рассмотрением её восьмушки и определять величины прогибов только в узлах 1...10 (рис. 5.14, (б)). На рис. 5.14, (б) представлены сетка и нумерация узлов (D = а /4).
Поскольку края пластинки защемлены, то записав контурные условия (5.25), (5.26) в конечных разностях
